Το Σύγχρονο Ποδόσφαιρο συναντάει την Επιστήμη των Μαθηματικών
Το Σύγχρονο Ποδόσφαιρο συναντάει την Επιστήμη των Μαθηματικών
Τι σχέση έχουν τα μαθηματικά με το ποδόσφαιρο; «Μια σχέση που θα κάνει τους
ανυποψίαστους να εκπλαγούν και τους υποψιασμένους να σιγουρευτούν». Σε μια εποχή όπου το επαγγελματικό ποδόσφαιρο δεν είναι μόνο ζήτημα ταλέντου, τύχης και
πολλών δισεκατομμυρίων, η επιστήμη αναγνωρίζεται ως το πιο χρήσιμο «εργαλείο»
για την απόδοση ομάδων και ποδοσφαιριστών. Πώς παίζουν οι μεγάλες ομάδες; Ποια τακτική ακολουθούν οι διάσημοι παίκτες; Πού κρύβεται η ομορφιά του «ολοκληρωτικού ποδοσφαίρου»;
Οι ρίζες του total football βρίσκονται έξω από το ποδόσφαιρο. Η γοητεία του κρύβεται στην αρχιτεκτονική, τη γεωμετρία και στην ιδέα του μεγάλου μαθηματικού
Ανρί Πουανκαρέ περί ευμετάβλητου χώρου. Από την αεροδυναμική της μπάλας, τον
ρόλο των παπουτσιών στα φαλτσαριστά σουτ, την ψυχολογία των ποδοσφαιριστών
στην διαδικασία των πέναλτι, τις αναλυτικές μετρήσεις και την παρακολούθηση των
δεικτών που αφορούν στην εργοφυσιολογία των ποδοσφαιριστών, μέχρι την εξαντλητική μαθηματική ανάλυση των δυνατοτήτων που προσφέρουν τα αγωνιστικά
συστήματα, οι προπονητές έχουν αποκτήσει για τις δυνατότητες του παιχνιδιού, μια
γνώση που ολοένα διευρύνεται. Μια γνώση στην οποία δεν έχουν πρόσβαση οι δημοσιογράφοι και οι φίλαθλοι και παρ’ όλα αυτά κρίνουν με απόλυτο τρόπο, τόσο το
παιχνίδι όσο και τους ποδοσφαιριστές.
Χωρούν τα Μαθηματικά στο ποδόσφαιρο; Και αν χωρούν, το κάνουν καλύτερο ή χειρότερο; Μην ξεχνάμε ότι είναι ένα άθλημα που έχει φτιαχτεί για να μην μπαίνουν πολλά γκολ και να μην κερδίζει πάντα ο καλύτερος… Η ανάλυση 300.000 παιχνιδιών
από διάφορα ομαδικά αθλήματα- μπάσκετ, μπέιζμπολ, χόκεϊ στον πάγο- έδειξε ότι το
ποδόσφαιρο είναι το πιο απρόβλεπτο απ΄ όλα σε ό,τι αφορά τα αποτελέσματα.
Πώς κυλά η (μπάλα) Jabulani
Η καινούρια μπάλα, η Jabulani (σημαίνει «να το γιορτάσουμε» στη γλώσσα των
Ζουλού, σημαντική φυλή της Νοτιοαφρικής), με τα ένδεκα χρώματα για τις ένδεκα πιο πολυπληθείς φυλές που κατοικούν,
στο κράτος της διοργανώτριας χώρας Νότιας Αφρικής, άρχισε να κυλάει στα γήπεδα.
Σχεδιάστηκε, δοκιμάστηκε, κρίθηκε και επικρίθηκε. Είναι πάντως ένα ακόμη προϊόν
επιστημονικής έρευνας σε σχέση με τη συμπεριφορά διάφορων υλικών και δοκιμών
σε αεροσήραγγες. Μία ακόμη προσπάθεια οι νόμοι της Φυσικής να παίξουν κάποιο
ρόλο στη διαμόρφωση του δημοφιλέστερου αθλήματος στον κόσμο. Μόνο που η
επιστήμη εξ ορισμού έχει σκοπό να κάνει τα πράγματα γύρω μας περισσότερο
προβλέψιμα, ενώ η γοητεία του ποδοσφαίρου είναι το ότι σε διοργανώσεις όπως το
Μουντιάλ διάφοροι παράγοντες το κάνουν απρόβλεπτο. Αρα, πιο ενδιαφέρον.
Και η καινούρια μπάλα, για να μη μιλούμε έτσι στον αέρα, δεν ξεφεύγει από τα
παραπάνω. Οπως παραπονέθηκαν πιο πολύ οι τερματοφύλακες, τους έρχεται με
ανυπόφορη ταχύτητα. Και αυτό έχει την επιστημονική του εξήγηση. Διότι μέσα στην
αεροσήραγγα, όπου δοκιμάζεται πλέον η κάθε μπάλα, αποδείχθηκε ότι καθώς κινείται
στον αέρα και τον μετατοπίζει στα πλάγια για να περάσει εκείνη, στο πίσω μέρος της
δημιουργούνται στρόβιλοι, ακριβώς όπως βλέπουμε να συμβαίνει και στο νερό πίσω
από την προπέλα ενός πλοίου. Η αντίσταση μάλιστα του αέρα μεγαλώνει καθώς
αυξάνεται και η ταχύτητα της μπάλας (και μάλιστα με το τετράγωνο της ταχύτητας.
Δηλαδή όταν διπλασιάζεται η ταχύτητα τετραπλασιάζεται η αντίσταση και έτσι
κάπως η μπάλα φρενάρει).
Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα. Πάνω από κάποια τιμή της αρχικής ταχύτητας
αλλάζει η ροή γύρω από την μπάλα και η αντίσταση μειώνεται! Αρα σε ένα πολύ
δυνατό χτύπημα, έχει που έχει ταχύτητα η μπάλα, φρενάρει και λιγότερο, είναι και
πιο αερόμπαλα αυτή η καινούργια και καταλαβαίνουμε το δράμα του
τερματοφύλακα. Προσθέστε σε αυτά και το ότι το ένα τέταρτο των οστών του
ανθρώπινου σώματος είναι συγκεντρωμένο στα πόδια και με βάση την εξίσωση της
ορμής που είναι μεγαλύτερη όσο πιο μεγάλη είναι η μάζα του κινούμενου σώματος
(εδώ αναφερόμαστε στα πόδια του ποδοσφαιριστή) και την ελαστική κρούση με την καλά φουσκωμένη μπάλα, δεν είναι δύσκολο να ξεπεράσουμε μια ταχύτητα ακόμη
και 120 χιλιομέτρων την ώρα. Και με την καινούρια μπάλα, την κάπως πιο ελαφριά,
πιο λεία και πιο στρογγυλή, καταλαβαίνουμε γιατί φωνάζουν ήδη ο Κασίγιας και οι
άλλοι τερματοφύλακες.
Ο ΤΡΟΜΟΣ ΤΟΥ ΤΕΡΜΑΤΟΦΥΛΑΚΑ
Στο πέναλτι η ομάδα και ο τερματοφύλακας στήνονται μπροστά στο εκτελεστικό
απόσπασμα, «στα 11 μέτρα», όπως λέγεται. Γιατί όμως σε αυτή την απόσταση; Από
το 1902 ισχύει ότι η μπάλα, στην πιο βαριά από τις ποινές του ποδοσφαίρου, πρέπει να στηθεί στις 12 γιάρδες, δηλαδή στα 10,97 μέτρα. Είναι μια απόσταση, όπως θα
δούμε, σχετικά καλά διαλεγμένη. Γι΄ αυτό μπορούν να μας διαβεβαιώσουν και η
στατιστική και κάποιοι εύκολοι υπολογισμοί. Η ποινή θα έπρεπε να είναι βαριά,
δηλαδή να είναι σχεδόν γκολ, αλλά όχι και εκατό τοις εκατό, για να υπάρχει
ενδιαφέρον. Eχουν λοιπόν επιλέξει μια πιθανότητα κοντά στο 75%. Αυτό έχει
αποδειχτεί ότι διατηρείται από πολλές στατιστικές μετρήσεις σε πρωταθλήματα
υψηλού επιπέδου και διοργανώσεις όπως το Παγκόσμιο και το Ευρωπαϊκό.
Μπορεί όμως να επιτευχθεί το ίδιο αποτέλεσμα και από αλλού. Οταν το τέρμα έχει
άνοιγμα 7,32 μέτρα και ύψος 2,44, η επιφάνειά του βγαίνει κοντά στα 18
τετραγωνικά μέτρα. Ενας τερματοφύλακας σε μουντιαλικό επίπεδο είναι περίπου στα
2 μέτρα και το άνοιγμα των χεριών του φθάνει επίσης τα 2 μέτρα, άρα καλύπτει
περίπου 4 τετραγωνικά, δηλαδή το 22% της επιφάνειας του τέρματος. Αρα μένει το
78% ακάλυπτο, που είναι κοντά στο 75%. Ίσως θα έπρεπε η μπάλα να στηνόταν
περίπου μισό μέτρο πιο πίσω για να είναι τα πράγματα πιο δίκαια. Διότι είναι και ο
χρόνος αντίδρασης του τερματοφύλακα που πρέπει να λογαριαστεί. Στα πέναλτι η
μέγιστη ταχύτητα της μπάλας φθάνει τα 120-130 χιλιόμετρα την ώρα. Αλλά ο μέσος
όρος βγαίνει κάπου 100 χιλιόμετρα την ώρα. Για να διανύσει η μπάλα την απόσταση
των 11 μέτρων, χρειάζεται κατά προσέγγιση χρόνο 0,4 δευτερόλεπτα. Ένας άνθρωπος
χρειάζεται 0,2 δευτερόλεπτα για να αντιληφθεί προς το πού κατευθύνεται η μπάλα,
άρα του μένουν 0,2 ακόμη για να αντιδράσει. Αλλά η εκτίναξη ως τη γωνία του, που
είναι σε απόσταση 3,66 μέτρων με 40 χιλιόμετρα την ώρα ταχύτητα, χρειάζεται χρόνο
0,33 δευτερολέπτων. Γι΄ αυτό βλέπουμε τους τερματοφύλακες να έχουν από πριν
αποφασίσει προς τα πού θα πέσουν.
Όσο για τη διαδικασία των 5 πέναλτι, μετά τους αγώνες των ομίλων, όταν πρέπει
πάντα να αναδειχτεί κάποιος νικητής, έχουν γίνει μελέτες και με τη θεωρία των
πιθανοτήτων και με στατιστικές. Και βγαίνει ότι, αφού στις προπονήσεις έχουν
χτυπηθεί άπειρα πέναλτι και έχουν γίνει στατιστικές μελέτες, η καλύτερη στρατηγική
είναι το πρώτο πέναλτι να το χτυπάει ο χειρότερος των πέντε παικτών που έχουν
επιλεγεί και να πηγαίνουμε προς τον καλύτερο, δηλαδή τον πιο εύστοχο αλλά και πιο
ψύχραιμο, όταν πιθανόν η πίεση έχει ανέβει στα ύψη.
Αφού ανέλυσαν δεκάδες ώρες ποδοσφαίρου καποιοι αθλητικοί επιστήµονες, ένας από
τους οποίους ο Ken Bray, κατέληξαν στο συµπέρασµα πως οι κορυφαίοι ποδοσφαιριστές όπως ο Κριστιάνο Ρονάλντο, ο Μέσι ,ο Νειμαρ και Εμπαπε είναι πολύ καλοί στα µαθηµατικά.
ΤΑ ΦΑΟΥΛ
Για τις εκτελέσεις φάουλ από απόσταση 23 µέτρων η µπάλα πρέπει να φύγει από το
πόδι του ποδοσφαιριστή µε γωνία 16 µοιρών. Για τους δεξιοπόδαρους πρέπει να
χτυπηθεί ελαφρά προς τα δεξιά ώστε να πάρει τα φάλτσα και να κατευθυνθεί µε
δύναµη προς την εστία. Η αρχική ταχύτητα της µπάλας πρέπει να είναι 95-115 χλµ. /
ώρα και να περιστρέφεται µε 600 στροφές το λεπτό.
Τα μαθηματικά είναι για όλους
Μια άλλη αρχή στην οποία πιστεύουμε είναι ότι τα μαθηματικά είναι για όλους. Αυτή
η αυτονόητη αρχή της υποχρεωτικής εκπαίδευσης σημαίνει ότι σε όλους τους
μαθητές, είτε έχουν ή όχι ιδιαίτερη κλίση, είτε ανήκουν σε εθνικές μειονότητες, είτε
έχουν μαθησιακές δυσκολίες κ.ά., το εκπαιδευτικό σύστημα οφείλει να διδάξει τα
μαθηματικά και να μη δημιουργηθεί αρνητική στάση προς το μάθημα αυτό. Αυτό το
σύνθετο έργο εκτός από το κατάλληλο εκπαιδευτικό υλικό αναφέρεται περισσότερο
στον εκπαιδευτικό και τη διδασκαλία που θα πραγματοποιήσει μέσα στην τάξη. Τα
βιβλία των μαθηματικών αλλά και η διδασκαλία των εκπαιδευτικών θα πρέπει να
δίνουν σε όλους τους μαθητές ανεξαιρέτως, την ευκαιρία να προβληματιστούν, να
ασχοληθούν με ευχάριστες για αυτούς δραστηριότητες και να μάθουν σύμφωνα με
την προσωπική τους υποδομή και ρυθμούς.
ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΥΠΑΡΧΟΥΝ
Ακολουθεί προσωπική μελέτη σχετικά με τα συστήματα παιχνιδιού
Το γήπεδο ποδοσφαίρου που παίζεται το ποδόσφαιρο είναι ορθογώνιο. Το µήκος
του είναι από 90 µέχρι 120 µέτρα και το πλάτος του από 45 µέχρι 90 µέτρα. Από την
τελική γραµµή κάθε περιοχής και στη µέση της υπάρχουν δύο κάθετα δοκάρια, που
απέχουν µεταξύ τους 7,32 µ. και συνδέονται µ’ ένα οριζόντιο δοκάρι που έχει ύψος
απ’ το έδαφος 2,44 µ. Αυτό είναι το τέρµα.
Το γήπεδο ποδοσφαίρου το χωρίζουµε σε ίσες ζώνες στο µήκος και στο πλάτος.
∆ηµιουργούµε δηλαδή έξι (6) ορθογώνια. Η επιτιθέμενη πλευρά κινείται από αριστερά στα δεξιά. Το ορθογώνιο ΑΒΓ∆ αποτελεί την αμυντική γραμμή, το Γ∆ΕΖ την μεσαία γραμμή και το ΕΖΗΘ την επιθετική γραμμή οι περισσότερες ενέργειες που αφορούν την στρατηγική στην άµυνα, στο κέντρο και την επίθεση εκδηλώνονται σ’ αυτές τις ζώνες.
Εξίσου σημαντικά είναι και τα κεντρικά και πλάγια τµήµατα. Το ορθογώνιο ΑΙΚΘ
αποτελεί το αριστερό πλάγιο τμήμα, το ΙΜΛΚ το μέσο τμήμα και το ΜΛΗΒ το
δεξιό πλάγιο τμήμα
Α. Σύστημα 4-2-4
Ονοµάζεται έτσι επειδή τέσσερις παίκτες καλύπτουν την αµυντική γραµµή, δύο
παίκτες την µεσαία γραµµή και τέσσερις την επιθετική.
Ας βρούµε πόσες επιλογές πάσας έχουν οι 10 παίκτες, εκτός του τερµατοφύλακα .
Ο κάθε παίκτης µπορεί να δώσει πάσα στους υπόλοιπους 9 άρα 9 πάσες δηλάδη
συνολικά 9*10= 90 πάσες. Αν επιλέξουµε ως ανώτατο όριο της πάσας, τα 40 µέτρα,
γιατί όσο πιο µακριά “ταξιδεύει η µπάλα, τόσο πιο πιθανό είναι να κοπεί από
αντίπαλο, και υποθέσουµε πως όλες οι πάσες είναι την εµβέλεια τότε θα έχουµε :
Ο Α παίκτης έχει : 4 επιλογές ( στο Β, Γ, Ε, Ζ)
Ο Β παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Α, Γ, ∆, Ε, Ζ)
Ο Γ παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Α, Β, ∆, Ε. Ζ)
Ο ∆ παίκτης έχει : 4 επιλογές ( Γ, Β, Ε, Ζ)
Ο Ε παίκτης έχει : 9 επιλογές ( Α, Β, Γ, ∆, Ζ, Η, Θ, Ι ,Κ)
Ο Ζ παίκτης έχει : 9 επιλογές ( Α, Β, Γ, ∆, Ε, Η, Θ, Ι, Κ, )
Ο Η παίκτης έχει : 4 επιλογές ( Ε, Ζ, Θ, Ι )
Ο Θ παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Ε, Ζ, Η, Ι, Κ)
Ο Ι παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Ε, Ζ, Η, Θ, Κ )
Ο Κ παίκτης έχει : 4 επιλογές (Ε, Ζ, Θ, Ι)
Αμυντικοί : 4+5+5+4= 18
Μέσοι : 9+9= 18
Επιθετικοί : 4+5+5+4= 18
Συνολικά 54 διαθέσιµες πάσες σε αυτό το σύστηµα.
Από αυτές µόνο 4+5+5+4=18 πάσες φτάνουν στην γραµµή επίθεσης δηλαδή ποσοστό 18/54*100 =33,33 %
Β. Σύστημα 4-3-3
Με όµοιο τρόπο, οι επιλογές πάσας 40 µέτρων σε αυτό το σύστηµα είναι:
Ο Α παίκτης έχει : 4 επιλογές ( Β, Γ, Ε, Ζ)
Ο Β παίκτης έχει : 6 επιλογές ( Α, Γ, ∆, Ε, Ζ, Η)
Ο Γ παίκτης έχει : 6 επιλογές ( Α, Β, ∆, Ε. Ζ, Η)
Ο ∆ παίκτης έχει : 4 επιλογές ( Γ, Β, Ε, Ζ)
Ο Ε παίκτης έχει : 9 επιλογές ( Α, Β, Γ, ∆, Ζ, Η, Θ, Ι ,Κ)
Ο Ζ παίκτης έχει : 7 επιλογές ( Α, Β, Ε, Η, Θ, Ι, Κ, )
Ο Η παίκτης έχει : 7 επιλογές ( Γ,Δ, Ε, Ζ, Θ, Ι, Κ )
Ο Θ παίκτης έχει : 4 επιλογές ( Ε, Ζ, Η, Ι, )
Ο Ι παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Ε, Ζ, Η, Θ, Κ )
Ο Κ παίκτης έχει : 4 επιλογές (Ε, Ζ, Η, Ι)
Αμυντικοί : 4+6+6+4= 20
Μέσοι : 7+9+7= 23
Επιθετικοί : 4+5+4= 13
Συνολικά 56 πάσες µε ποσοστό 13/56*100= 23,2% στη γραμμή επίθεσης.
Γ. Σύστημα 4-4-2
Οι επιλογές πάσας είναι :
Ο Α παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Β, Γ, Ε, Ζ, Η )
Ο Β παίκτης έχει : 7 επιλογές ( Α, Γ, ∆, Ε, Ζ, Η, Θ)
Ο Γ παίκτης έχει : 7 επιλογές ( Α, Β, ∆, Ε. Ζ, Η , Θ)
Ο ∆ παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Γ, Β, Ε, Η, Θ)
Ο Ε παίκτης έχει : 9 επιλογές ( Α, Β, Γ, ∆, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ)
Ο Ζ παίκτης έχει : 7 επιλογές ( Α, Β, Ε, Η, Θ, Ι, Κ,)
Ο Η παίκτης έχει : 9 επιλογές ( Γ,Δ, Ε, Ζ, Θ, Ι, Κ )
Ο Θ παίκτης έχει : 7 επιλογές ( Α, Β, Ε, Η, Θ, Ι, Κ)
Ο Ι παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Ε, Ζ, Η, Θ, Κ )
Ο Κ παίκτης έχει : 5 επιλογές (Ε, Ζ, Η, Ι, Θ )
Αμυντικοί : 5+7+7+5= 24
Μέσοι : 7+9+9+7= 32
Επιθετικοί : 5+5=10
Συνολικά 66 πάσες µε ποσοστό 10/66*100= 15,15 % στην γραµµή επίθεσης.
∆. Σύστημα 4-5-1
Οι επιλογές πάσας είναι :
Ο Α παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Β, Ε, Η, Ζ, Ι )
Ο Β παίκτης έχει : 7 επιλογές ( Α, Γ, ∆, Ε, Ζ ,Η, Θ)
Ο Γ παίκτης έχει : 7 επιλογές ( Α, Β, ∆, Ε. Ζ, Η ,Θ)
Ο ∆ παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Γ, Ι , Ε, Η, Θ)
Ο Ε παίκτης έχει : 9 επιλογές ( Α, Β, Γ, ∆, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ)
Ο Ζ παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Α, Ε, Η, Ι, Κ,)
Ο Η παίκτης έχει : 9 επιλογές ( Α, Β, Γ, ∆, Ζ, Ε, Θ, Ι, Κ)
Ο Θ παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Δ, Η, Ε, Ι, Κ)
Ο Ι παίκτης έχει : 5 επιλογές ( Ε, Ζ, Η, Θ, Κ )
Ο Κ παίκτης έχει : 5 επιλογές (Ε, Ζ, Η, Ι, Θ )
Αµυντικοί : 5 +7+7+5=24
Μέσοι : 5+9+5+9+5=33
Επιθετικοί : =5
Συνολικά 62 πάσες µε ποσοστό 5/62*100= 8% στην επιθετική γραµµή.
Παρατηρούµε ότι το σύστημα 4-4-2 ( 66 μεταβιβάσεις ) είναι το καλύτερο , ενώ το
4-2-4 ( 54 μεταβιβάσεις) είναι το χειρότερο.
Στο 4-4-2 κάθε παίκτης έχει περισσότερες επιλογές, καθώς υπάρχουν 66/100= 6,6=7
συµπαίκτες σε απόσταση για πάσα, ενώ στο 4-2-4 υπάρχουν 54/10= 5,4=5 παίκτες,
κατά µέσο όρο, σε απόσταση για πάσα.
Το κέντρο είναι η περιοχή όπου παρατηρείται συνήθως ο µεγαλύτερος συνωστισµός, καθώς όλη η κυκλοφορία της µπάλας, οι πάσες από την άμυνα στην επίθεση και αντίστροφα, περνούν από το χώρο του κέντρου. Από αυτήν την άποψη, το έργο που ανατίθεται στους µμέσους, δηλαδή πόση δουλειά διεκπεραιώνουν παραλαµβάνοντας
και “µοιράζοντας” την µπάλα, αποτελεί καθοριστικό παράγοντα σε κάθε αγωνιστικό
σύστημα.
Για να δούµε λοιπόν πόσες πάσες ενός αγώνα( πάσες προς τα εµπρός, προς τα
πίσω και από παίκτη σε παίκτη) περνούν από το κέντρο σε κάθε αγωνιστικό
σύστηµα.
Στα 4-2-4 έχουμε : (18/2)/54*100= 16,66= 17% σε κάθε µέσο παίκτη, πολύ απαιτητικό, γι’ αυτό το σύστηµα αυτό έχει εγκαταλειφθεί.
Στο 4-3-3 έχουμε : (23/3)/56*100= 14% σε κάθε µμέσο παίκτη.
Στο 4-4-2 έχουμε : (32/4)/66*100 = 12% σε κάθε µέσο παίκτη.
Στο 4-5-1 έχουμε : (33/5)/62*100=11% σε κάθε μέσο παίκτη.
Άραγε ποιο σύστηµα είναι ανώτερο από τα άλλα; Η απάντηση δεν είναι και τόσο
προφανής. Πολλά εξαρτώνται από τον βαθµό στον οποίο επηρεάζεται το ποδόσφαιρο από τις στατιστικές πιθανότητες. Ίσως σε τελική ανάλυση, να είναι οι παίκτες που κάνουν το σύστηµα και όχι το αντίθετο.
Το άθλημά µε τους περισσότερους φίλους στον κόσµο, συναντά την επιστήµη. Ή
πιο σωστά, η επιστήµη µε τα σύγχρονα µέσα που διαθέτει κατορθώνει να µελετήσει
τα ενδότερα του δημοφιλέστερου αθλήματος στον κόσμο του ποδοσφαίρου
Tsakiridis – Football Analysis
πηγη.